인수분해

인수분해

인수분해의 목적은 보통 어떤 원소를 더 기초적이고 간단한 조각으로 분해하는 데 있다. 예를 들어, 수를 소수들의 곱으로, 다항식을 인수분해 되지 않는 다항식으로 분해하는 것이다. 그리고 다항식의 경우는, 변수 에 대하여 가 근삿값 일 때, 근삿값을 참값에 가깝게 계산하기 위함과 방정식 등 을 풀기 위해 사용한다. 정수 집합에서는 산술의 기본 정리, 다항식의 집합에서는 대수학의 기본 정리와 관련이 있다. 그러나 모든 환에서 인수분해가 더 이상 분해되지 않는 원소들의 곱으로 유일하게 표현되는 것은 아니다. 유일한 인수분해가 성립하는 가환환을 유일 인수 분해 정역이라고 한다.

다항식의 인수 분해[편집]

다항식의 계수(coefficient)의 집합을 어느 범위로 한정하느냐에 따라 소인수분해의 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어, 계수를 유리수로 한정할 경우 과 는 모두 인수분해 되지 않으므로 기약다항식(Irreducible polynomial)이 된다. 그러나 실수로 확장하면 는 로 인수분해 되고, 는 여전히 기약다항식이 된다. 계수를 복소수로 더 확장하면 비로소 는 로 인수분해 된다. 계수에 복소수를 허용하면 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 모든 복소계수 다항식이 일차식으로 항상 인수분해 가능하다.

이차식[편집]

이차식 가 주어져 있을 때, 이 이차식의 값을 영으로 만드는 두 원소 가 있다면 다음과 같이 인수분해 된다.

또한 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 다음과 같이 계수로 표현가능하다.

고차식[편집]

삼차, 사차식의 경우에는 근의 공식을 이용할 수도 있다. 그러나 계산과정이 길고 손으로 직접하기에는 어려움이 따른다.

특별한 고차식에 적용할 수 있는 다양한 테크닉들이 있는데, 이러한 몇몇 공식들은 중고교 교과과정에서 자주 등장한다. 예를 들어,

와 같은 공식들이 있다. 이와 같은 공식들이 적용되지 않는다면 적당히 추측하는 방법을 동원하여 조립제법을 쓰는 경우도 있다.

위 공식을 사용하여 1보다 큰 모든 정수 n에 대해 이 다음과 같이 항상 소수가 아님을 알 수 있다.(헝가리 Kürschák 경시대회 1978년 문제)^[1]

(증명) n이 짝수일 경우 은 짝수이다. n이 홀수일 경우, 이므로 역시 합성수가 된다.

잘 알려진 인수 분해 공식[편집]

모든 공식에 복부호 동순이 적용된다. 2차식

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3차식

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4차식

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