로그

참조 : http://www.mathteacher.pe.kr/log/log_txt_1.htm

로그의 정의

a^x=b (a > 0, a≠1)를 만족하는 x 를 x = log_ab 라고 나타내기로 합니다.
a^x=b 일 때의 x 를 x = log_ab 라고 나타내기로 약속하였으므로  a^x=b 에
x = log_ab 를 대입하면 가 됩니다.예를 들어  2^x = 3 에서의 x 는  x = log₂3 이므로 여기에 x 를 대입하면이 됩니다.^^

로그의 성질

다음의 로그의 성질은 모두 지수의 성질로부터 나온 것입니다.

기본성질

1. log_a1 = 0    ←    a⁰ = 1
2. log_aa = 1    ←    a¹ = a

(1의 증명) a⁰ = 1 에서 0 = log_a1 이므로 log_a1 = 0 입니다.
(2의 증명) a¹ = a 에서 1 = log_aa 이므로 log_aa = 1 입니다.

진수의 변환

1. 
2. 
3. 

(1의 증명)

지수 꼴로 나타내기 위해서 log_ax = m, log_ay = n 이라고 놓으면 a^m = x, aⁿ ＝ y 이 됩니다. 이 두 식을 변끼리 곱하면 a^m×aⁿ = xy , 즉 a^m+n = xy 이 됩니다. 이 식은 로그의 정의에 의해서 log_axy = m + n 이 되고 여기에 m = log_ax, n = log_ay 를 대입하면 log_axy = log_ax+log_ay 가 됩니다.

(3의 증명)

log_ax = m 이라고 놓으면 a^m = x 이 됩니다. 이 식의 양변을 n 거듭제곱하면 (a^m)ⁿ = xⁿ 이 됩니다. a^mn = xⁿ 에서 log_axⁿ = mn 이 되고, 이 식에 m = log_ax 를 대입하면 log_axⁿ = (log_ax)^.n, log_axⁿ = n^.(log_ax) 이 되고 여기서 괄호는 생략할 수 있으므로 log_axⁿ = n^.log_ax 가 됩니다.    

밑(base)의 변환

1. 
2. 
3. 

(1의 증명)

log_ab = m 이라고 놓으면 a^m = b 이 됩니다. 식을 증명하기 위해서 log_ca^m 이라는 수를 생각합니다. 여기에 a^m = b 를 대입하면 log_ca^m = log_cb 이 되고 m^.log_ca = log_cb ⇔ 에서이 증명되었습니다.^^

(2의 증명)

먼저 좌변의 밑수는 a 이고 우변의 밑수는 c 이므로 좌변의 밑수를 c 로 고치는 방법을 생각해야 하겠습니다. ← a^m = b 에서 a 를 밑수(base number), b 를 지수(exponent) 라고 합니다.^^
에서 라고 나타낼 수 있습니다. ← 중요합니다.^^
우변의 지수는 ⇔  log_ca^.log_bc = log_ba 와 같이 계산되므로 이 증명되었습니다.^^