함수

일차함수

일차함수 = 직선의 방정식

직교 좌표계

직교 좌표계(直交座標系, 영어: rectangular coordinate system), 혹은 좌표평면은 임의의 차원의 유클리드 공간 (혹은 좀 더 일반적으로 내적공간)을 나타내는 좌표계의 하나이다.

이를 발명한 프랑스의 수학자 데카르트의 이름을 따 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)라고도 부른다

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유클리드 공간

수학에서 유클리드 공간(영어: Euclidean space)은 에우클레이데스가 연구했던 평면과 공간을 일반화한 것이다

이 일반화는 유클리드가 생각했던 거리와 길이와 각도를 좌표계를 도입하여, 임의 차원의 공간으로 확장한 것이다. 이는 표준적인 유한 차원, 실수, 내적 공간이다.

경우에 따라서는 민코프스키 공간에 대비되는 말로서, 피타고라스의 정리에 의한 길이소의 제곱의 계수가 모두 양수인 공간을 이야기한다.

정의[편집]

자연수 에 대하여, 차원 유클리드 공간 은 집합으로서 실수 집합 의 번 곱집합이다.

이 위에 내적

를 정의하면, 은 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이에 따라, 유클리드 공간은 내적 공간, 바나흐 공간, 노름 공간, 벡터 공간, 완비 거리 공간, 위상 공간을 이룬다.

또한, 자명한 좌표근방계를 주어 미분 가능 다양체 및 리만 다양체로 만들 수 있다. 이 경우, 리만 계량으로 정의한 거리는 내적으로 정의한 거리와 일치한다.

피타고라스의 정리

피타고라스의 정리(문화어: 세평방 정리)는 직각삼각형의 세 변의 관계를 나타내는 기본 정리이다. 이 정리는 평평한 입체도형 즉, 유클리드 공간 위에서 성립하며, 그 내용은 다음과 같다.

임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.

공식의 표현[편집]

c를 직각삼각형의 빗변의 길이, a와 b를 각각 나머지 두 변의 길이라 하면, 다음과 같이 공식으로 나타낼 수 있다.

또는, c에 대하여 풀이하면 다음과 같다.

단,위에서 c는 거리의 개념이므로 반드시 양수이어야한다.

c를 알고 있고, 두 변 중 하나의 길이를 알아야 한다면, 다음과 같이 구할 수 있다.

또는

이 방정식으로 직각삼각형의 세 변에 대한 간단한 관계를 알 수 있으므로, 두 변의 길이를 알면 나머지 길이를 알아낼 수 있다. 이 공식을 일반화한 것이 코사인 법칙이며, 이를 이용하면 두 변의 길이와 그 사잇각을 알면 임의의 삼각형의 나머지 변의 길이를 알아낼 수 있다. 두 변이 이루는 각이 직각인 경우 코사인의 법칙은 피타고라스의 원리로 간단히 정리된다.